공리
Categories:philosophy
공리
발생
공리란 무엇인가에 대해 생각한 내용이다.
정의
공리(公理, 영어: axiom)는 논리학이나 수학 등의 이론체계에서 가장 기초적인 근거가 되는 명제(命題)이다. 증명할 필요가 없이 자명한 진리이자 다른 명제들을 증명하는 데 전제가 되는 원리로서 가장 기본적인 가정을 가리킨다.
출처 : 위키백과 (공리)
한글에서는 공리와 비슷하지만 다른 공준(公準) 이라는 단어가 있다. 공준의 정의는 아래와 같다.
공준(公準, 영어: postulate)은 요청(要請)이라고도 하며, 공리와 거의 같은 뜻으로 쓰인다. 공리는 증명 불가능한 자명(自明)의 일로 생각되고 있으나 공리가 부정될 가능성(실천적 이론, 혹은 비유클리드 기하학 등)을 생각한다면, 하나의 이론체계에서 가정된 기본적 전제로서의 성격이 짙어진다. 이 경우 공준(요청)이라고 부른다.
출처 : 위키백과 (공준)
영어로는 공리와 공준 모두 Axiom 이라고 부른다.
공리계
정의
증명 없이 참으로 받아들여지는 기본 공리들의 집합이며, 이 공리들을 기반으로 논리적인 추론을 통해 다양한 정리들을 이끌어내는 이론 체계
특징
- 무정의 용어(Undefined terms): 공리계에서 별도의 정의 없이 사용하는 기본적인 대상들을 의미한다.
- 논리적 추론: 공리들을 바탕으로 논리 법칙에 따라 새로운 명제(정리, 보조정리 등)를 유도해낸다.
- 무모순성: 공리계의 공리들은 서로 모순이 없어야 한다.
- 이론 체계: 공리계는 하나의 이론을 구축하기 위한 논리적 구조를 제공해야한다.
- e.g., 유클리드 기하학은 최초로 공리계에 의해 이론 체계를 완성한 예이다.
예시
공리와 공리계는 어떠한 것에 논할 때 공통으로 동의하는 주장이라고도 말할 수 있다.
실제로 현대 수학에 대해 논하려면 현대 수학 이론의 기초가 되는 ZFC 공리계를 동의하지 않고서 현대 수학에 대해 논할 수 없다.
신에 대해 논하려면 신이 존재한다는 공리에 동의 하지 않으면 안되는 것과 같다.
결론
공리란 어떠한 주장을 펼치기 위해 필요한 최소한의 도구인거 같다. 최소한의 도구로 최대한의 결과물을 만들어 내는 과정은 흥미롭다.
Day-57